"Det är synd att 99 % av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"Ju längre ett samhälle
kommer från sanningen,
desto mer kommer detta
samhälle att hata dem
som säger sanningen"
(George Orwell)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

"För att komma till flodens
källa måste man simma
mot strömmen."
(Stanislaw Jerzy Lec)

"Jag noterar att alla de
människor, som är för
abort, redan är födda."
(Ronald Reagan)

Senast ändrad: 2009 11 02 15:39

Kvantmekanik del 2 (mätproblemet)

 

Innan vi behandlar det kvantmekaniska mätproblemet skall vi först presentera en kvantmekanisk analogi, som förhoppningsvis illustrerar själva problemet utan att tyngas ned av några svårförståeliga fysikaliska begrepp.

Vi föreställer oss en duschblandare med två kranar, vilka båda kan vridas kontinuerligt mellan sina maximi- och minimilägen. Denna blandare har nu mycket speciella egenskaper; vattnet som kommer ut ur den är nämligen alltid antingen iskallt eller skållhett, aldrig något mittemellan (vår speciella blandare påminner tyvärr ganska mycket om vissa i verkligheten förekommande duschblandare). De två möjligheterna kallt respektive varmt kan vi kalla för vattnets två temperaturegentillstånd och vi betecknar dessa i fortsättningen med K respektive V. Det enda sätt vi kan avgöra vilket egentillstånd vattnet befinner sig i, är genom att hålla handen under strålen och känna efter. I enlighet med ortodox kvantmekanik antar vi nämligen att det är först när en medveten observatör känner efter, som vattnet antar något av sina två egentillstånd. Före denna observation befinner sig vattnet i en superposition av de två egentillstånden K och V, dvs en blandning av de två tillstånden.


"Kvantmekanisk dusch". Vattnet är antingen iskallt eller skållhett. Om bara K-kranen är öppen är sannolikheten 1 för att vattnet är iskallt medan samma sannolikhet är 0 om bara V-kranen är öppen. Om båda kranarna är öppna är sannolikheten för kallt vatten (och naturligtvis också för varmt vatten) 0,5. Vattnet har inte "bestämt sig" för om det är kallt eller varmt innan någon observatör känner efter. Om sannolikheten för kallt vatten är P(K) är sannolikheten för varmt vatten P(V)=1-P(K).
Beroende på kranarnas inställning kommer sannolikheten för kallt (eller varmt) vatten (K eller V) att variera. Om bara K-kranen öppnas får vi naturligtvis alltid kallt vatten (egentillstånd K med sannolikhet = 1. V har samtidigt sannolikheten 0) och om endast V-kranen öppnas får vi på samma sätt med visshet varmt vatten (egentillstånd V med sannolikhet = 1). Öppnas båda kranarna får vi en superposition av de två tillstånden K och V. Genom upprepade försök kan man mäta sannolikheten att få t ex kallt vatten vid en viss inställning av de båda kranarna. Vid någon kombination av de två kranarnas inställning, kommer sannolikheterna för kallt respektive varmt vatten att vara lika stora — sannolikheten för K och V kommer då båda att vara 0,5 vilket vi kan skriva som P(K) = P(V) = 0,5. [1] Känner man efter med handen 100 gånger, kommer vattnet då att vara iskallt ca 50 gånger och skållhett ca 50 gånger. Vi kan dock inte förutsäga utfallet av en enskild observation av vattentemperaturen. Gör man tillräckligt många försök med olika inställningar av kranarna kan man så småningom uttrycka t ex sannolikheten att få kallt vatten, P(K), som en funktion av kranarnas inställning. Om duschen verkligen fungerar helt analogt med ett kvantmekaniskt system, är det absolut omöjligt att utifrån information om kranarnas inställning med visshet förutsäga om vattnet är kallt eller varmt. Denna information ger enbart kunskap om sannolikheten för att vattnet skall vara kallt eller varmt.

Kvantfenomen uppträder på precis detta sätt. Man kan ställa in diverse kontroller på en experimentuppsättning så att man får superpositioner av olika fysikaliska egentillstånd (t ex av en elektrons energi). Så länge som ingen mätning görs på systemet är det omöjligt att veta i vilket egentillstånd systemet befinner sig. Enligt den ortodoxa kvantmekaniken är det inte bara fråga om vår okunskap, utan systemet befinner sig överhuvudtaget inte i något speciellt egentillstånd. Naturligtvis kan man i exemplet med duschen göra olika experiment för att försöka avgöra vattnets temperatur utan att känna efter med handen. Men även om man brygger kaffe på vattnet, vet man inte förrän man smakar på kaffet om vattnet hade egentillståndet K eller V. Tvättar man en ylletröja i vattnet, vet man inte förrän man öppnar tvättmaskinen om den har krympt eller ej, dvs om vattnet var V eller K. Stoppar vi in en termometer i vattnet, måste vi först avläsa denna, innan vi vet vattnets temperatur, etc. Den springande punkten här är att vare sig termometer, ylletröja eller kaffe är någon medveten observatör. Utvidgar vi vår lilla kvantanalogi ytterligare, så kan vi anta att både termometer, ylletröja och kaffe lyder under samma begränsningar och lagar som gäller för vattnet, nämligen att normalt befinna sig i superpositioner av olika egentillstånd; hög-låg kvicksilverpelare, krympt-intekrympt tröja och iskaffe-hettkaffe. Även mätinstrument består ju av elementarpartiklar och bör därför också lyda under samma lagar som mätobjektet självt. [2]

För läsaren kanske ovanstående mer framstår som ett filosofiskt än som ett fysikaliskt problem. Ett problem i samma anda som: "Kan man säga att en sten på månens baksida existerar, trots att ingen ser den?" eller "Åstadkommer ett fallande löv i skogen ett ljud, även om ingen är där som kan höra det?" Det visar sig emellertid att det uppstår mätbara konsekvenser av de kvantmekaniska superpositionerna. Dessa konsekvenser skiljer sig från vad man skulle observera om ett skenbart blandat tillstånd i själva verket alltid befann sig i ett rent egentillstånd, men dolde detta för observatören ända fram till mättillfället. Överfört på vår duschblandare, så uppför sig en vattenstråle som är "kanske varm, kanske kall" annorlunda än en stråle som "antingen är varm eller kall, men observatören vet inte vilket". Orsaken till detta är att de två tillstånden interfererar med varandra, vilket ger upphov till direkt observerbara konsekvenser[3] Dessa interferenseffekter är endast statistiska och blir observerbara först efter ett stort antal ylletröjstvättar, kaffebryggningar eller andra observationer.

Antag nu att vi skall utföra energimätningar på ett kvantmekaniskt system, och att vi har N st möjliga energiegenvärden[4], samt att systemet inte befinner sig i något egentillstånd till energin. Enligt den kvantmekaniska teorin kommer systemets vågfunktion [Psi] då att ha följande utseende[5] före mätningen (jfr (7) och (8)):

där är den vågfunktion som beskriver den k:e energiegentillståndet, dvs det tillstånd vars energi med visshet är lika med Ek. Konstanten ak, som i allmänhet är komplex, visar sig vara ett mått på sannolikheten att vid en mätning få just denna energi.[6] Mer exakt uttryckt är sannolikheten att få energin Ek lika med vilket innebär att , eftersom totala sannolikheten att få något värde överhuvudtaget på energin måste vara lika med 1. Om t ex = 0,22 och E 7 = -11,85 eV, så är sannolikheten 0,22 eller 22% att en mätning av energin ger resultatet E = -11,85 eV.

Systemets totala vågfunktion består alltså av N stycken termer, där var och en av termerna svarar mot någon av de N möjliga energierna[7]. Om systemet befinner sig i ett energiegentillstånd redan från början — vilket innebär att vi vid varje mätning kommer att få ett och samma energivärde — innehåller (5) bara en enda term. Att vi känner energin med visshet innebär nämligen att sannolikheten att få just detta energivärde måste vara lika med ett, eller om vi så vill hundra procent, medan sannolikheterna att få de övriga möjliga energivärdena måste vara lika med noll. Detta avspeglas i att endast en av konstanterna, låt säga den m:e, är skild från noll ( om k = m och om ), dvs (5) reduceras till , vilket innebär att varje mätning av energin ger resultatet Em.

Efter mätningen — avläsningen av mätinstrumentet — vet vi vilken av de N möjliga energierna som systemet har. Vågfunktionen måste därför ha följande utseende:

där k är lika med något av de möjliga värdena 1,2,3,...,N. I stället för N st termer som i (5) har vi nu endast en enda term, nämligen den term som svarar mot mätresultatet. Omedelbart efter mätningen befinner sig således systemet alltid i ett egentillstånd. Ett av kvantmekanikens största och hittills olösta problem är att den ögonblickliga övergång[8] mellan (5) och (6) som inträffar då mätinstrumentet avläses inte kan beskrivas med hjälp av kvantmekanikens ekvationer.

I tankeexperimentet med Schrödingers katt har man dragit ut konsekvenserna ännu längre. Här tänker man sig en katt instängd i en låda. I lådan finns också ett svagt alfastrålande preparat, en detektor och en giftgasampull. Då detektorn registrerar en alfapartikel, aktiveras ett relä som öppnar giftgasampullen, varvid katten dör. Låt oss vidare anta att försöket pågår i två timmar och att preparatet är så lågstrålande, att det är 50 % sannolikhet att en alfapartikel skall sändas ut under denna tid. Innan vi öppnar lådan och tittar efter, vet vi inte om katten är död eller levande, eller uttryckt i kvantmekanikens anda, vi vet inte i vilket egentillstånd — död eller levande — som katten befinner sig. Kvantmekaniskt befinner sig katten i en superposition av de två möjliga egentillstånden och det är först när en observatör öppnar lådan för att titta efter, som katten övergår från det superponerade tillståndet till något av de två egentillstånden. Någon kanske vill invända att katten är lika mycket observatör som en människa, men å andra sidan är katten en möjlig död katt, vilken definitivt inte är någon observatör. I detta tankeexperiment har vi således skapat ett system som är en superposition av två egentillstånd, där det ena har status av observatör medan det andra inte har denna status. En paradox så god som någon.

Om vi betecknar egentillståndet "levande katt" med och "död katt med samt antar att sannolikheten för de två tillstånden är lika stor, dvs 0,5, blir tillståndet (vågfunktionen för systemet) innan lådan öppnats i enlighet med postulat 3:

Innan lådan öppnats och katten observerats är sannolikheten för de två tillstånden således lika stor (0,5)[9]. Efter det att lådan öppnats har tillståndet reducerats till något av de två egentillsltånden eller , dvs eller . Sannolikheten 0,5 för de två tillstånden har nu övergått till sannolikheten 1 för det observerade tillståndet. Möjlighet har i och med observationen övergått till visshet.

Man har försökt kringgå svårigheten med mätproblemet på många olika sätt, varav några av de viktigaste är följande:

1. Genom att införa det omtvistade s k projektionspostulatet har man gett "vågpaketets kollaps" axiomatisk karaktär. Enligt en formulering lyder detta postulat:

Varje mätning som utförs på ett system, transformerar den initiala vågfunktionen till en egenfunktion av den operator, som representerar den mätta storheten.

Observabel betyder här helt enkelt fysikalisk storhet. Man låter således övergången från (5) till (6) bli ett av kvantmekanikens postulat. Tekniken att "bortförklara" svårförklarliga fenomen genom att postulera dem anses emellertid av vissa fysiker inte höra hemma i en teori som gör anspråk på att vara fullständig.

2. I Many World Theory[10] har man konstruerat en logiskt möjlig men samtidigt synnerligen absurd väg ut ur mätprocessens dilemma. Man tänker sig där att det mot varje term i (5) svarar ett möjligt universum. Vid mätningen, då (5) reduceras till (6) och efter vilken endast en term återstår, förgrenas det universum man befann sig i före mätningen i N stycken alternativa, parallella universa. I ett av dessa har man alltså vid avläsning av energin erhållit det k:te möjliga energivärdet, dvs Ek. Samtidigt har i vart och ett av de N-1 återstående, parallella universa "samme" observatör vid "samma" mätning läst av de N-1 återstående, möjliga energivärdena E1,...,Ek-1,Ek+1,...EN. Olika värden i olika universa.

I ett universum finns således en observatör som just har läst av energin E1 på sitt mätinstrument. I ett annat universum finns "samme" observatör, men till skillnad från den förste observatören har han erhållit energin E2 i stället för Evid "samma" avläsning osv. Det ursprungliga universum har alltså efter mätningen spjälkats upp i N st parallella universa. Detta sker inte bara vid vetenskapliga mätningar utan vid varje observation överhuvudtaget, som görs av en medveten observatör.

Det finns enligt denna teori ingen möjlighet att kommunicera mellan dessa olika universa. Om denna möjlighet funnes, skulle det naturligtvis uppstå en mängd logiska paradoxer, och flervärldsteorin skulle då inte vara logiskt konsistent. Varje individ förgrenas alltså i ett i det närmaste oräkneligt antal "kopior" vid varje observation. Var och en av dessa kopior har haft samma minnen ända fram till observationen (eftersom de var en och samma individ), men efter denna så kommer de olika kopiorna att få olika minnen (genom att de befinner sig i olika världar och gör olika erfarenheter). De olika kopiorna blir därmed olika personligheter men utan möjlighet till inbördes kommunikation (som tur är)!

Vid varje observation förgrenas universum. Varje möjligt mätresultat ger upphov till ett nytt universum.

Det finns flera olika sätt att tolka vågfunktionens innebörd. En sådan möjlig tolkning kombinerad med flervärldsperspektivet ger upphov till speciellt bisarra resultat. Enligt denna tolkning existerar t ex ett universum där president Kennedy inte sköts; ett annat där han sköts men överlevde och ett tredje där han sköts och dog (det i vilket "jag" och alla som läser detta befinner sig). I paradoxen med Schrödingers katt finns på samma sätt ett universum där katten är död och ett annat där katten lever.

Varje sekund förgrenas således universum enligt flervärldsteorin i ett oräkneligt antal nya, parallella universa. Av intuitiva skäl är det svårt att ta en sådan teori på allvar, även om den inte direkt kan avfärdas på logiska grunder. Att en förklaring är logiskt möjlig medför i varje fall inte automatiskt att denna är sann.

3. En tredje utväg är att anta att mätningar inte är fysikaliska processer, utan att det endast är fråga om en plötslig informationsförändring, vilken inträffar då vi läser av mätinstrumentet. Om både (5) och (6) beskriver fysikaliska tillstånd, är det emellertid svårt att utifrån ett rent vetenskapligt perspektiv förstå hur en sådan ickefysikalisk process, som avläsningen utgör, skulle kunna transformera ett fysikaliskt tillstånd. Vi måste därför i detta fall utgå från att vågfunktionen saknar reell, fysikalisk innebörd, och enbart kan ses som en förteckning över systemets olika möjliga värden. Många fysiker har emellertid denna syn på vågfunktionens kollaps. Man menar då att (5) aldrig inträffar i den fysikaliska verkligheten, utan endast är en katalog över de möjligheter som ryms inom systemet. (5) anger t ex de olika möjliga energier som vårt system kan anta, medan (6) visar vilken av dessa energier som systemet i själva verket har. Det är först vid avläsningen av mätinstrumentet som vi får reda på vilken av termerna i (5) som har realiserats.

En av vårt århundrades mest framstående matematiker och teoretiska fysiker, John von Neumann (1903-1957), som sysslade mycket med kvantmekanikens logiska grunder och bl a ställde upp den kanske mest accepterade kvantmekaniska mätteorin, hade bl a följande kommentar till "the reduction of the wave packet":

Kvantmekaniken beskriver händelser som inträffar i de observerade delarna av verkligheten så länge som dessa inte växelverkar med de observerande delarna... verkar också antyda att dessa processer (vågpaketets kollaps) inte inträffar i den observerbara delen av verkligheten, hur djupt in i observatörens kropp man än drar gränsen. De kan därför endast inträffa i hans medvetande. [11]

Varje mätning involverar därför, enligt von Neumanns mätteori, observatörens medvetande. Enligt denna teori sker alltså ingenting i den fysikaliska verkligheten utan att någon observerar denna. (5) kan betraktas som en "katalog" över de möjliga mätresultaten. Ur det kvantmekaniska perspektivet kommer vi aldrig längre än till (5). Transformationen till (6) kräver närvaron av en medveten observatör.

Om den totala verkligheten endast är uppbyggd av mikrofysikaliska enheter och alltså lyder under kvantmekanikens lagar — vilket ju åtminstone är fallet enligt det mekanistiska atomistperspektivet — vore den därför, enligt von Neumann, en verklighet av endast "möjligheter". Inga "verkliga händelser[12]" skulle äga rum i ett sådant universum, eftersom även "observatörerna" är kvantmekaniska system och därmed ur stånd att åstadkomma vågfunktionens kollaps!

Mätproblemet är fortfarande olöst och än idag publiceras olika förslag till lösningar. Rent praktiskt spelar mätproblemet inte någon större roll. Kvantmekaniken i sin modernaste form fungerar i praktiken utomordentligt bra, och de flesta fysiker nöjer sig därför med den rent formella lösning som projektionspostulatet ger.

Tillbaka till Min Fysiksida

Tillbaka till Kvantmekanik del 1

Du kan läsa mer om kvantmekanik i min bok Den moderna fysikens grunder — från mikrokosmos till makrokosmos, utgiven på Studentlitteratur i Lund.


[1] Det måste naturligtvis alltid gälla att P(K) + P(V) =1, varför P(V) =1 - P(K).
[2] I den tredje teorin för mätprocessen som ges nedan visas på en alternativ tolkning.
[3] Ett exempel på detta är dubbelspaltexperimentet, vilket behandlats tidigare.
[4] I allmänhet har vi ett oändligt antal möjliga energivärden, men detta förändrar inte vårt resonemang i princip.
[5] Om man är intresserade av läge eller rörelsemängd, så utvecklar man i stället vågfunktionen i egentillstånd till dessa storheter.
[6] Detta visas närmare i appendix B.
[7] Den kvantmekaniskta duschens vågfunktion innehåller två termer där den ena svarar mot iskallt och den andra mot skållhett vatten. Detsamma gäller för dubbelspaltexperimentets vågfunktion.
[8] Brukar kallas för "reduction of the wave packet". På svenska använder man ibland uttrycket "vågpaketets kollaps".
[9]
[10] Flervärldsteorin.
[11] Max Jammer: The Philosophy of Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, sid 481.
[12] Om t ex två elektroner kolliderar blir enligt kvantmekaniken inte resultatet av denna kollision att elektron 1 får en viss bestämd energi och elektron 2 en annan bestämd energi, vilket man ju förväntar sig om kollisionen skall betraktas som en verklig händelse. I stället får de två elektronerna ett spektrum av oändligt många, möjliga energier. Ingen av dessa har emellertid realiserats eftersom detta sker först då en medveten observatör observerar systemet. Någon verklig händelse har därför inte ägt rum!
© Krister Renard