"Det är lätt att förlåta ett
barn som fruktar mörkret.
Den verkliga tragedin är
en vuxen som fruktar ljuset."
(Platon)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"För att komma till flodens
källa måste man simma
mot strömmen."
(Stanislaw Jerzy Lec)

Boolesk algebra

Boolesk algebra är en form av symbolisk logik. Den logiska operationen ”eller” betecknas här med ”+” och operationen ”och” med ”·”. För negationen av påståendet A, dvs icke-A, används symbolen , dvs A med ett streck över.

A = 1 betyder att påståendet A är sant medan A = 0 betyder att A är falskt. Operationen "och" innebär att alla påståenden som sammanbinds av "och"-symbolen måste vara sanna samtidigt för att hela uttrycket skall vara sant. Operationen "eller" betyder att minst ett av de påståenden som sammanbinds av "eller"-symbolen måste vara sant för att hela uttrycket skall vara sant. Operationen "inte", som inte kombinerar påståenden, utan endast verkar på ett enda påstående, innebär helt enkelt negationen av ett visst påstående.

Antag nu att A = "det regnar" och B = "det är molnigt". "A · B" ("A och B") betyder då att det både regnar och är molnigt samtidigt. "A + B" ("A eller B") innebär att det antingen regnar eller är molnigt, eller också att det både regnar och är molnigt (logikens "eller" är inte liktydigt med "antingen eller"). När det gäller "eller" så räcker det således att minst ett av de ingående påståendena är sant, för att hela det logiska uttrycket skall vara sant. , dvs "inte A", innebär slutligen "det regnar inte".

Ofta betecknar man logiska uttryck med bokstäver, t ex "S". "S = A + B" ("S lika med A eller B") betyder då att S är sant (S = 1) om minst en av A eller B är sanna (dvs A = 1 och/eller B = 1). Endast om både A och B är falska, så är S falskt i detta fall. När det gäller "och" så räcker det med att en av A eller B är falsk, för att S skall vara falskt. Självklart kan man också kombinera flera än två påståenden med "och" eller "eller". "S = A + B + C" innebär t ex att minst ett av påståendena A, B och C måste vara sant för att S skall vara sant (=1). S är endast falskt (=0) om A, B och C alla tre är falska samtidigt.

Figuren ovan visar de s k sanningstabellerna för de tre grundläggande logiska funktionerna; OCH, ELLER och INTE (oftast används de engelska beteckningarna AND, OR och NOT). 1 betyder sann och 0 falsk i tabellerna. Vi ser att för att funktionen OCH skall vara sann (S=1) måste både A och B vara sanna (=1), medan för att ELLER skall vara sann räcker det med att ett av de ingående påståendena är sanna (=1). INTE-funktionen kallas ibland invertering, eftersom ettor blir nollor och nollor blir ettor. Var och en av dessa logiska funktioner har sin motsvarighet i elektroniska kretsar, som kallas grindar och som bygger upp datorer och många andra apparater. Sanningsvärdet 0 motsvaras då i allmänhet av 0 volt och sanningsvärdet 1 av 5 volt. Lägger man 0 volt (=logisk nolla) på ingången på en INTE-krets får man således ut 5 volt (logisk etta) på utgången och vice versa. En OCH-krets som har två ingångar måste ha 5 volt på båda ingångarna för att det skall bli 5 volt på utgången, etc.

Utifrån ovanstående kan man sedan bygga upp mer komplexa logiska uttryck och manipulera (förenkla och skriva om) dessa enligt den Booleska algebrans regler. En sådan regel är t ex

A + 1 = 1

I vänsterledet står "A eller 1". Eftersom det ena påståendet i "eller-relationen" alltid är sant ("1" står ju för ett påstående som alltid är sant, dvs lika med 1), måste, enligt definitionen av logiskt "eller", hela påståendet alltid vara sant, dvs lika med 1 (översatt till vanlig svenska säger regeln helt enkelt att "A eller 1 är alltid sant"). En annan regel är de Morgans teorem. En form av denna kan skrivas:

dvs "inte (A och B)" är exakt samma sak som "(inte A) eller (inte B)". De Morgans teorem kan användas för att gå över från operationen "och" till operationen "eller" eller tvärtom.

Att tilldela symbolerna A och B etc betydelser, genom att koppla dem till specifika påståenden (t ex A = "det regnar"), kallas att "ge dem en tolkning". Utan tolkningar blir logiken oanvändbar och reduceras till en lek med symboler. Observera! Logikens lagar och samband är sanna oberoende av sådana tolkningar. "A + 1 = 1" är således alltid sant, oberoende av vilket konkret påstående som A representerar.

Det finns givetvis logiska uttryck som saknar mening inom satslogk och predikatlogik. Ett exempel är "A + + B" ("A eller eller B"). Uttryck som är meningsfulla inom en viss logik brukar kallas välformulerade. Men även om nu ett påstående är logiskt värfomulerat, behöver det för den skull inte vara meningsfullt när man överför det till verkligheten (tolkar det). Man måste således vara mycket försiktig när man översätter verkligheten till logik och tvärtom. Hur kraftfull och objektiv logiken än må vara inom sitt begränsade ompetensområde, ger den helt felaktiga resultat om denna översättning är inkorrekt.

Tillbaka till Vetenskap och tro
Tillbaka till "Predikatlogik..."
Tillbaka till "Bevis för att motsägelse leder till att allt är sant..."