"Det är synd att 99 % av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"Ju längre ett samhälle
kommer från sanningen,
desto mer kommer detta
samhälle att hata dem
som säger sanningen"
(George Orwell)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

"För att komma till flodens
källa måste man simma
mot strömmen."
(Stanislaw Jerzy Lec)

"Jag noterar att alla de
människor, som är för
abort, redan är födda."
(Ronald Reagan)

Senast ändrad: 2009 11 02 15:34

Speciell relativitetsteori del 1

Av flera skäl är det numera allmänt vedertaget att ljusets hastighet[1] är oberoende av både observatörens och ljuskällans hastigheter. Man stöder sig då bl a på Michelson-Morleys berömda försök samt det inte fullt så bekanta försöket av Trouton-Noble. Båda dessa utfördes under senare delen av 1800-talet och gick ut på att med hjälp av fysikens lagar mäta jordens hastighet relativt den s k etern.
Vid denna tid ansågs det allmänt att ljus inte kunde utbreda sig i tomma rymden, utan att det krävdes ett medium för detta (på samma sätt som att ljudutbredning kräver ett medium, t ex luft). Detta medium kallades för eter (efter Aristoteles femte element) och förmodades vara elastiskt och av ickemateriell natur.
Vid Michelson-Morleys försök utnyttjade man att ljushastigheten mätt på jorden måste vara beroende av dennas rörelse i förhållande till etern. Då jordens rörelse relativt etern inte var känd, gick man tillväga på följande sätt:

Jorden rör sig i sin bana runt solen med en hastighet av ca 30 km/s. Med hjälp av en speciell försöksanordning — Michelsons interferometer — jämförde man nu ljusets hastighet, mätt dels parallellt med jordens rörelseriktning runt solen och dels vinkelrätt mot densamma. Försöket upprepades i olika punkter av jordbanan, och eftersom jorden inte kunde vara i vila relativt etern i alla dessa punkter, så borde man vid åtminstone några mättillfällen få olika värden på ljushastigheten i de två mätriktningarna. Någon sådan olikhet kunde dock inte observeras.
Trouton-Nobles försök bestod väsentligen av att man observerade en vridbart upphängd, laddad kondensator. Vid rörelse i förhållande till etern borde kondensatorn, enligt teorin för elektromagnetism, utsättas för en vridande kraft. Även här blev utfallet negativt.

Resultaten av dessa båda försök verkade således tyda på att ljusets hastighet var densamma i alla riktningar, oberoende av observatörens eget rörelsetillstånd. Då man hade svårt att acceptera en sådan tolkning, gjordes flera försök att förklara utfallet på andra sätt [2]. En sådan förklaring — Lorentz kontraktionshypotes — gick ut på att föremål som rör sig i förhållande till etern förkortas i rörelseriktningen enligt en viss formel[3] på grund av "fartvinden" — etervinden — och att därför ljushastigheten endast skenbart verkar vara densamma i de två mätriktningarna. Skillnaden i ljushastighet kompenseras helt enkelt av mätinstrumentets förkortning i jordens rörelseriktning relativt etern.

När Einstein år 1905 ställde upp den speciella relativitetsteorin, innebar ett av postulaten för denna teori en tolkning av Michelson-Morleys och Trouton-Nobles försök. Ljusets hastighet är enligt detta postulat oberoende av både ljuskällans och observatörens hastigheter, vilket innebär att det är omöjligt att observera några som helst konsekvenser av etern. Det fanns därför, enligt Einstein, inte längre någon anledning att hålla fast vid eterhypotesen varför denna övergavs. Relativitetsteorin förnekar således egentligen inte existensen av en eter, men på grund av att denna inte är observerbar, är den mer ett metafysiskt än ett fysikaliskt begrepp och har av denna anledning ingen plats i en fysikalisk teori.

Oviljan att acceptera ljushastighetens konstans är lätt att förstå, eftersom denna konstans ger upphov till vissa paradoxala resultat. Från den klassiska mekaniken vet vi att om två kroppar rör sig med hastigheterna u respektive v i förhållande till en tredje kropp, och hastigheterna har en sådan riktning att de två kropparna rör sig mot varandra, så blir den relativa hastigheten lika med summan av u och v, dvs u+v.

Antag nu att en observatör närmar sig en ljuskälla med hastigheten v. Ljuskällan sänder i riktning mot observatören ut fotoner. Dessa avlägsnar sig från ljuskällan med hastigheten c. Enligt ovan borde då relativa hastigheten mellan foton och observatör bli v+c. Observatören skulle alltså mäta en ljushastighet som är större än c. Samtidigt kräver emellertid antagandet om ljushastighetens konstans att ljusets hastighet relativt observatören måste vara samma som dess hastighet relativt ljuskällan, dvs i båda fallen c. I avsnittet om addition av hastigheter kommer vi att visa att denna uppenbara motsägelse endast är skenbar.
Att relativitetsteorins resultat även idag ibland upplevs som svåracceptabla och t o m förnuftsvidriga framgår av följande citat ur den populärvetenskapliga tidskriften FAKTA:

En av den moderna fysikens förgrundsgestalter är Albert Einstein med sin relativitetsteori. Einstein och hans supporters med sin förvrängda verklighetsuppfattning kan till stor del göras ansvariga för det tankens kaos, som i dag råder inom den moderna fysiken. Relativitetsteorin innehåller genanta logiska absurditeter, som undergräver all tilltro och förtroende. Och detta förvridna och förvirrade tänkande har spritt sig till andra områden av den moderna fysikens domäner med oroande konsekvenser som följd. [4]

Under senare år har fler och fler amatörforskare publicerat artiklar, där man tror sig motbevisa den speciella relativitetsteorin. Ofta försöker man visa att utgången av Michelson-Morleys försök kan tolkas på alternativa sätt. Förutom den tidigare nämnda kontraktionshypotesen går en vanlig argumentering ut på att det finns "friktion" mellan eter och jord och att därför etern närmast jorden "klibbar fast" och på så sätt följer med i jordklotets rörelse. Mot detta talar bl a Fizeaus försök[5] samt observationen av aberration av infallande ljus från himlakroppar[6]. Man kan t ex visa att om eterskiktet närmast jordytan följer med jorden, så skulle aberrationen enligt teorin för vågutbredning alltid vara noll, vilket inte är fallet.
Michelson-Morleys försök har vid flera tillfällen upprepats av andra forskare, och man har därvid ökat noggrannheten betydligt. Trots detta har man inte vid något tillfälle kunnat observera någon "etervind". De olika alternativa tolkningar av försöket som framförts, har alla vid en närmare analys visat sig vara ohållbara.

 

RÖRELSE

Alltsedan Newton hade man diskuterat hur man skulle kunna definiera "absolut rörelse" i universum. Eftersom alla himlakroppar rör sig, är det svårt att hitta någon referenspunkt som kan betraktas som orörlig. Newton själv myntade begreppet "God's sensorium", med vilket han menade Guds eget koordinatsystem. Detta är liktydigt med det s k "absoluta rummet". Han trodde alltså att det fanns ett absolut vilosystem i universum, och att kroppar i vila relativt detta system kunde sägas befinna sig i "absolut vila" och därför hade en särställning.
En liknande tanke återkom således i "eterhypotesen", där absolut vila definierades som "vila i förhållande till etern". När denna hypotes övergavs, tvingades man samtidigt att överge tanken på existensen av "absolut rörelse". Relativitetsteorin har fått sitt namn av att man, som en konsekvens av denna, endast kan definiera relativ rörelse.

Att man trots detta insisterar på att t ex jorden rör sig kring solen och inte tvärtom, är en följd av kravet på att man av två möjliga beskrivningar väljer den enklaste. På grund av solens dominerande massa ligger nämligen hela solsystemets tyngdpunkt inne i solen, varför den förstnämnda beskrivningen ger de enklaste ekvationerna.

Vi föreställer oss nu en fysiker A, som befinner sig på en planet någonstans ute i rymden. Av skäl som strax framgår, måste vi utesluta roterande observatörer, varför vi antar att planeten är rotationsfri. I en raket, vilken med hög hastighet rör sig i förhållande till denna planet, befinner sig en annan fysiker A' (A-prim). Både A och A' observerar nu samma händelse. Även om A och A' relativt sig själva kommer att mäta olika hastigheter och rörelseenergier (dvs mätvärden) hos de observerade föremålen, är det dock rimligt att kräva att båda observatörerna skall observera samma naturlagar. Vi förväntar oss t ex att Newtons fundamentala andra lag (kraft lika med acceleration gånger massa, dvs F=am) skall gälla för både A och A'.

Då A mäter stenens acceleration, dess massa samt den kraft som verkar på stenen, får han a, m respektive F. Då A' mäter samma storheter får han a', m' respektive F'. Dessa mätvärden kan skilja sig åt, medan naturlagarna måste vara desamma för både A och A'. Dvs även om F!=F', a!=a' och m!=m' så måste det gälla att F=am och F'=a'm'.

I resonemanget ovan utgår vi från att varken A eller A' befinner sig under acceleration. Newtons lagar gäller nämligen endast för observatörer som rör sig likformigt, dvs rätlinjigt och med konstant hastighet. Även cirkelrörelse med konstant rotationshastighet — likformig cirkelrörelse — måste uteslutas (se figur nästa sida). Visserligen är här hastighetsvektorns storlek konstant, men dess riktning förändras oavbrutet, varför rörelsen är accelererad.

För att Newtons lagar skall gälla även för accelererade system, måste man införa s k pseudokrafter (skenkrafter).

Antag t ex att en person befinner sig i en svängande och därmed accelererande bil. En boll som ligger fritt på golvet börjar med ökande hastighet rulla mot den ena dörren. Bollen accelererar således relativt bilen trots att ingen orsakande kraft kan observeras. Om passageraren vill att Newtons lagar skall gälla i förhållande till bilen, måste han därför "hitta på" en kraft, som förklarar bollens acceleration. Denna skenbara kraft[7] är den välkända centrifugalkraften. En utomstående observatör, som inte är accelererad, observerar inte någon acceleration hos bollen och behöver därför inte heller införa någon kraft för att förklara dess rörelse. Enligt honom rör sig bollen rätlinjigt, vilket den enligt tröghetslagen också skall göra, då den inte påverkas av några krafter.

Personen i bilen upplever också hur han själv påverkas av en kraft som pressar honom mot en av bilens sidor. Enligt den utomstående observatören är detta en följd av att passageraren enligt tröghetslagen vill fortsätta rakt fram, men av bilen tvingas att röra sig i en krökt bana. Passagerarens naturliga, likformiga rörelse hindras således genom att denne via bilen är bunden till en accelererad rörelse.[8]
Jordrotationen åstadkommer givetvis också en centrifugalkraft. Denna påverkar föremål så att de blir "lättare". Störst är denna påverkan vid ekvatorn på grund av att rotationsradien där är störst. Vid polerna är centrifugalkraften lika med noll. Det vi i vardagslag kallar "tyngdkraft" består därför inte enbart av gravitation utan utgörs av skillnaden mellan jordens gravitation (inåtriktad) och centrifugalkraften, vilken är riktad utåt från jordaxeln.

En annan och kanske mindre känd pseudokraft är corioliskraften, vilken orsakas av jordens rotation och som påverkar varje föremål som rör sig med en hastighetsberoende kraft vinkelrätt mot rörelsens riktning. På norra halvklotet är kraften riktad 90 grader till höger om rörelseriktningen medan den på södra halvklotet ligger 90 grader till vänster om denna. Vid ekvatorn är corioliskraften noll och den har sitt maximum vid polerna. Den är mycket svag och blir därför huvudsakligen märkbar vid storskaliga fenomen som luft- och havsströmmar. En välkänd konsekvens av denna kraft är att tropiska stormar (hurricanes i Atlanten, tyfoner i Indiska Oceanen) på norra halvklotet roterar moturs medan de på södra halvklotet roterar medurs. Inga sådana stormar kan uppkomma närmare ekvatorn än cirka 5° nord eller 5° syd, eftersom corioliskraften inom detta område är för svag för att få igång luftmassans rotation.

Vi återvänder nu till våra två fysiker A och A'. Vi låter ett koordinatsystem S vara knutet till observatör A och ett annat, system S', vara knutet till raketen och därmed A'. Eftersom vi enbart är intresserade av hur A och A' rör sig i förhållande till varandra, bortser vi i det följande från orsaken till denna rörelse. Situationen i den tidigare figuren kan då illustreras schematiskt på följande sätt:

Punkten P har koordinaterna (x,y,z) relativt system S och (x',y',z') relativt system S'.

S och S' representerar alltså systemen, medan A och A' får representera observatörerna i dessa. Systemet S' antas i fortsättningen röra sig åt höger relativt S med den konstanta hastigheten v, vilket är samma sak som att S rör sig relativt S' med hastigheten -v (dvs åt vänster). Den horisontella axeln kallar vi som vanligt för x-axeln och den vertikala för y-axeln. S' rör sig uppenbarligen i positiv x-led relativt S.
Eftersom rymden är tredimensionell, tänker vi oss också en z-axel, vilken pekar rakt ut från papperet mot läsaren.
Antag nu att både A och A' observerar ett föremål i rörelse. Eftersom A och A' rör sig i förhållande till varandra, kommer de att mäta olika lägen (koordinater) och hastigheter hos detta föremål. Om föremålet t ex är i vila i förhållande till S', kommer dess läge relativt S' att vara oförändrat, medan dess läge relativt S hela tiden kommer att förändras. A' kommer i detta fall att mäta föremålets hastighet till 0, medan A anser att den är v.
Även om nu A observerar andra mätvärden för det observerade föremålets läge, hastighet etc än A', så kan A utifrån sina egna observationer räkna fram de mätvärden som A' samtidigt observerar och vice versa. A kan alltså, under förutsättning att han känner v, förutsäga vad A' kommer att observera och tvärtom. Sådana omräkningar kallar man inom fysiken för transformationer. Vi förväntar oss att de fysikaliska storheterna transformeras på ett sådant sätt att deras inbördes samband — dvs de fysikaliska lagarna — är samma för både A och A'.

Vill vi uttrycka oss lite mer fackmässigt än vi gjort tidigare, kan vi sammanfattningsvis säga att ett rimligt villkor på en transformation mellan två koordinatsystem, vilka rör sig relativt varandra med rätlinjig, konstant hastighet (dvs utan acceleration), är att de fysikaliska lagarna är invarianta (oförändrade). Vi kräver alltså att transformationen är sådan att samma fysikaliska lagar gäller i de bägge systemen.
Låt oss nu betrakta den godtyckliga punkten P, vars koordinater är (x,y,z) relativt S och (x',y',z') relativt S'. Transformationen mellan dessa koordinater ges av den så kallade galileitransformationen. Dess härledning återfinns i alla elementära läroböcker i fysik.
För att få så enkla transformationsekvationer som möjligt antar vi att de båda systemens origo (nollpunkter) sammanfaller vid t=0 (tiden lika med noll) samt att x och x'-axeln sammanfaller. Vi får då följande fyra enkla samband:

  • x'=x-vt
  • y'=y
  • z'=z
  • [t'=t]

Eftersom S' rör sig i x-led blir transformationerna av y och z-koordinaterna triviala. I sambandet inom klammerparentes avser t tiden mätt av A och t' motsvarande tid mätt av A'. Om klockorna i de båda systemen nollställs samtidigt — när origo sammanfaller enligt ovan — verkar det rimligt att anta att tiden i de bägge systemen i fortsättningen kommer att vara densamma (dvs tiden är synkroniserad och längden av tidsenheten är densamma). Före relativitetsteorin ansågs detta antagande om tidens invarians vara så självklart att det mycket sällan diskuterades utan mer eller mindre var underförstått.

Det är lätt att kontrollera att den newtonska mekanikens lagar är oförändrade efter galileitransformationen. Detta är en följd av att v är konstant, vilket leder till att accelerationen (dvs andraderivatan av x respektive x' med avseende på tiden) är samma i de båda systemen[9]. Då det visar sig att både A och A' dessutom observerar samma kraft och samma massa, kommer den fundamentala Newtons andra lag — F=am — därför att gälla i både S och S'. En närmare undersökning visar att hela den newtonska mekaniken är invariant under galileitransformationen. Så långt är tydligen allt gott och väl.
Tyvärr visar det sig att som en följd av antagandet om ljushastighetens konstans, så är de viktiga lagarna för elektromagnetisk strålning — Maxwells ekvationer — ej invarianta under galileitransformationen. Detta är oacceptabelt, eftersom vi kräver att samtliga fysikaliska lagar skall vara desamma i de två systemen. Einstein försökte därför hitta en transformation, under vilken alla fysikaliska lagar var invarianta. Sökandet efter en sådan transformation utgjorde speciella relativitetsteorins program.

Tillbaka till Min Fysiksida

Du kan läsa mer om speciella relativitetsteorin i
Speciell relativitetsteori del 2


[1] Mer allmänt är det fråga om den hastighet varmed elektromagnetisk strålning utbreder sig. För att göra framställningen mer koncis kommer jag i fortsättningen att låta ordet ljus beteckna varje form av elektromagnetisk strålning. Ljushastigheten i vakuum brukar betecknas med c och är lika med 299 793 km/s.
[2] Det är viktigt att här inse att försöksresultatet utgör fakta, men att sedan dessa fakta kan tolkas på olika sätt.
[3] Samma formel som för längdkontraktionen. Enligt kontraktionshypotesen är det dock, till skillnad från vad relativitetsteorin säger, fråga om en verklig, absolut observerbar kontraktion.
[4] Nr 2 1988. Ur ett inlägg av amatörfysikern Ove Tedenstig.
[5] Man studerar där ljusutbredning i rörliga medier (vätskor).
[6] Innebär att den observerade riktningen till en fixstjärna avviker från den verkliga riktningen.
[7] Begreppet skenbar kraft innebär att det inte finns någon fysikalisk orsak till "kraften". Verkliga krafter däremot orsakas av någon av de fyra naturkrafterna (se index). Detta gäller även mekaniska och makroskopiska krafter, vilka alla vid närmare analys visar sig bestå av antingen gravitation eller elektromagnetisk växelverkan.
[8] På liknande sätt betraktar man inom allmänna relativitetsteorin gravitationen som en pseudokraft. Att en observatör på jorden upplever hur han påverkas av jordens gravitationsfält är i detta perspektiv betingat av att marken under hans fötter tvingar honom att avvika från sin "naturliga världslinje i den fyrdimensionella rumtiden". Av detta framgår att den i föregående fotnot gjorda indelningen mellan pseudokrafter och verkliga krafter i viss mån är relativ.
[9] Accelerationen dv/dt=0 eftersom v är konstant.
© Krister Renard